Решение заданий олимпиады Юношеской математической школы

Победители и призёры первого тура будут приглашены на второй (очный) тур олимпиады ЮМШ, который состоится в ноябре — декабре. https://vk.com/video4689112_456239166 Существует ли прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и высотой к гипотенузе https://vk.com/video175939728_456239123 Как найти проекцию катета на гипотенузу и косинус угла ЗФТШ МФТИ. Точное время и место проведения второго тура будут указаны на сайте ЮМШ. Мы будем рады, если в олимпиаде примут участие Ваши друзья, которым нравится математика. Однако работы с признаками списывания и «коллективного творчества» рассматриваться не будут. Среди задач есть весьма трудные, так что присылайте свою работу, даже если Вам удалось решить лишь две-три задачи. Помните, что решение задачи должно включать не только правильный ответ, но и полное обоснование этого ответа. Если Вы занимаетесь в математическом кружке, то укажите фамилию руководителя и место занятий кружка. Условия задач переписывать не нужно. Решение каждой задачи начинайте с новой страницы. Заочный тур для 4-8 классов проводится с 13 сентября по 10 октября 2016 года. Решения заочного тура можно сдать несколькими способами. Заочный тур. Задания для 4 и 5 классов. Не забывайте обосновывать свои решения! Покажите, как можно разрезать квадрат 5-5 на четыре части «по клеточкам» и сложить из этих частей два квадрата. Пёс и кот стащили гирлянду из 76 сосисок и начали её есть одновременно с двух концов. Пёс за минуту съедает вдвое больше сосисок, чем кот. Самая вкусная сосиска — 49-я со стороны пса. Кому из них она достанется? К левому берегу реки подошли четверо бродяг, а к правому — четверо портных. Всем нужно на противоположный берег. У левого берега есть двухместная лодка (в ней можно плыть в одиночку или вдвоём). Трое портных трусливые: они не согласны оказаться на одном берегу с бродягами, если там портных меньше, чем бродяг. А вот храброму четвёртому портняжке в меньшинстве быть не страшно. Как им всем переправиться? Незнайка написал на шести карточках цифры от 1 до 6. Из этих карточек он составил три двузначных числа, которые перемножил. Результат он забыл, но потом рассказывал всем, что этот результат оканчивался то ли на 1, то ли на 5, то ли на 9. На какую же цифру оканчивался Незнайкин результат, если он не ошибся в подсчётах? (Шестёрку Незнайка использовал как шестёрку, а не как девятку.) На экскурсию отправились четыре класса: 4А, 4Б, 5А и 5Б. Из каждого класса поехало по 20 человек. Оказалось, что из четвёртых классов мальчиков поехало в три раза больше, чем девочек. А из «А» классов, наоборот, девочек оказалось в три раза больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков из 4Б класса поехало на экскурсию? В компании 100 человек, причём каждый из них знаком с 50 членами компании. Известно, что нет троих, попарно знакомых друг с другом (то есть если X знаком с Y, а Y знаком с Z, то Z не знаком с X). Докажите, что не найдется пятерых из них A, B, C, D и E, знакомых по кругу (A c B, B c C, C c D, D c E, E c А). Есть и решение заданий егэ по математике 2017 профильный уровень часть 2. Условия задач переписывать не нужно. Решение каждой задачи начинайте с новой страницы. Помните, что решение задачи должно включать не только правильный ответ, но и полное обоснование этого ответа. Как сдать решения олимпиады? Решите уравнение в натуральных числах 2nk – 3n = k ! (напомним, что k !=1•2•...•k ).