Trigonometrische Funktionen ableiten || Oberstufe ★ Übung 3

Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ Kostet nichts - Hilft Dir bei allen Themen: http://www.strandmathe.de Auch für Funktionen, bei denen es sich nicht um Polynome handelt, kann man Ableitungen bestimmen. Bei den trigonometrischen Funktionen liegt zwischen einer Funktion und seiner Ableitung genau eine Phasenverschiebung von 90° bzw. π/2 nach links. Es ergibt sich daher folgende, wiederkehrende Reihe: f(x)= sin⁡〖(x)〗 f'(x)= cos⁡〖(x)〗⁡ f''(x)=〖-sin〗⁡〖(x)〗 f^''' (x)= -cos⁡〖(x)〗 Das Schwingen des Pendels in der Abbildung lässt sich als Funktion der Form f(t)=a_max ∙ cos⁡〖(t)〗 beschreiben. Bestimme zunächst die maximale Auslenkung a_max . An welcher Stelle weist das Pendel die höchste Geschwindigkeit auf und welchen Betrag hat sie? In der Abbildung kannst du hoffentlich erkennen, wie sich aus der Bewegung des Pendels eine Kosinuskurve ergibt. Drehst du den Graphen gegen den Uhrzeigersinn, solltest du den Zusammenhang sehen. Die maximale Auslenkung entspricht zugleich der Amplitude a_max , die wir für die Funktion benötigen. Erinner dich hierbei nochmal an die verschiedenen Parameter, die Einfluss auf den Verlauf einer trigonometrischen Funktion nehmen. Mit einem scharfen Blick lässt sich die Länge a_max aus der Winkelbeziehung in dem gestrichelten Dreieck bestimmen: sin⁡〖(40°) 〗=a_max/(2 m) → a_max=2 m ∙ sin⁡〖(40°)〗 = 1,29 m Hat man einen Graphen gegeben, der einen Weg in Abhängigkeit der Zeit abbildet, entspricht die Steigung in einem Punkt genau der Geschwindigkeit. Folglich müssen wir die Steigungen der Funktion f(t)=1,29 ∙cos⁡〖(t)〗 bestimmen. Da die Ableitungsfunktion eben diese Eigenschaft hat, bilden wir die Ableitung. Abgesehen von den Gesetzmäßigkeiten beim Ableiten einer trigonometrischen Funktion, gilt auch weiterhin die Faktorregel. Die 1,29 bleibt entsprechend als Vorfaktor erhalten und aus cos⁡〖(t)〗 wird in der Ableitung 〖-sin〗⁡〖(t)〗 . Somit ergibt sich insgesamt als Ableitungsfunktion: f^' (t)= 1,29 ∙(-〖sin(〗⁡〖t))〗= -1,29 ∙ sin⁡〖(t)〗 Für die betragsmäßig höchste Geschwindigkeit müssen die Punkte größter Steigung, also Hoch- und Tiefpunkte in der Ableitungsfunktion, bestimmt werden. Dafür ist es oft hilfreich, den Verlauf der trigonometrischen Funktionen vor Augen zu haben oder sich eine Skizze als Hilfestellung zu erstellen. Die Skizze verdeutlicht, dass sich das Pendel nach π/2 Sekunden, also ungefähr 1,5 Sekunden, am schnellsten bewegt mit einer Geschwindigkeit von f^' (t)=-1,29 ∙ sin⁡〖(π/2)〗= -1,29 ∙1=-1,29=|-1,29| m⁄s Diese Geschwindigkeit liegt genau dann vor, wenn die Kugel nicht ausgelenkt ist, sprich, sich in der Mittelposition befindet. Dies ist in dem Funktionsverlauf von f(t) zu erkennen. Geht man von einer verlustfreien, reibungslosen Schwingung aus, so tritt die Geschwindigkeit bei jedem weiteren Mitteldurchgang, etwa alle 3 Sekunden (genau: alle π Sekunden), wieder auf. Trainer: „Du wirst in Zukunft noch weitere Ableitungen spezieller Funktionen kennen lernen. Diese muss man wie Vokabeln lernen.“ 1. Bestimme die Ableitungsfunktionen f^' (x) und f^'' (x) von f(x)= -〖2 ∙ sin〗⁡〖(x)〗 f(x)= 4x+0,5 ∙ cos⁡〖(x)〗 f(x)= -cos⁡〖(x)〗+ (-2)/x^3 2. Gegeben ist die Funktion f(x)=2cos⁡〖(x)-3〗. Bestimme auf dem Intervall [-3/4 π; 5/2 π] alle Stellen x_0, für die gilt f^' (x_0 )= 0 . 3. Bestimme für die Funktion f(x)=sin⁡(x)- cos⁡〖(x)〗 die Stellen größter Steigung auf dem Intervall [0; 2π] . Facebook: https://www.facebook.com/strandmathe Instagram: http://instagram.com/strandmathe Twitter: https://twitter.com/strandmathe